Probabilidad y Estadística

Se considera el primer teorema fundamental de la teoría de la probabilidad.

Básicamente el teorema establece que la frecuencia relativa de los resultados de un cierto experimento aleatorio, tienden a estabilizarse en cierto número, que es precísamente la probabilidad , cuando el experimento se realiza muchas veces.

Una demostración teórica del teorema es laboriosa, por lo que no tiene sentido exponerla en esta página. Si alguien está interesado en una demostración tanto de este teorema cómo del Teorema Central del Límite puede mirar en :

Introduction to probability

que es un libro de introducción a la probabilidad, disponible en línea, de forma totalmente gratuita. El único inconveniente es que está en inglés.

Aquí nos conformaremos con simular un experimento aleatorio, que nos aproxime de una manera intuitiva a los resultados que establece el teorema.

El experimento que vamos a simular es el de dar un golpe a una bola de billar situada en la mesa de juego, en el sentido que indica la flecha, y medir la distancia desde el extremo izquierdo de la mesa al punto en el que la bola se detiene.

Si la mesa, tiene 1 metro de longitud, el resultado del experimento, puede tomar cualquier valor comprendido entre cero y uno.

Sabemos que el espacio muestral que resulta de este experimento es un espacio muestral continuo. Para simplificar la simulación, podemos considerar la longitud de la mesa de billar, dividida en 10 partes iguales.

Consideraremos que el resultado del experimento es que la bola se detenga en alguna de las 10 partes. En este caso los posibles resultados son 10 y como todos los resultados tienen la misma posibilidad, estamos ante un espacio de probabilidad discreto y equiprobable.

La simulación consiste en que el ordenador genere aleatoriamente un número comprendido entre 0 y 1, que representará la distancia a la que se detiene la bola de billar. La probabilidad de que este número caiga en el primer intervalo es 1/10, lo mismo en cada uno de los intervalos restantes.

El experimento va a consistir en repetir 10 veces el golpe a la bola.

Sobre un sistema de referencia, colocamos, sobre el eje XX, los 10 intervalos en que hemos dividido la longitud de la mesa de billar, y sobre el eje YY las frecuencias relativas de cada uno de estos intervalos, veremos cómo las frecuencias relativas, varían de una ejecución del experimento a otra.

Pero si aumentamos el número de veces que golpeamos la bola a 20, 30 y así sucesivamente, observaremos que las frecuencias relativas de cada intervalo tienden a estabilizarse en torno a 0,1, que es la probabilidad que asignamos a que la bola se detenga en uno de los intervalos.

Este es el resultado que demuestra el teorema conocido cómo : Ley de los Grandes Números

Para realizar la simulación del experimento sólo tenemos que escribir el número de veces que queremos golpear la bola, por defecto 10, y hacer click en el botón de "Ejecutar".

Simulación del experimento

Es el segundo teorema fundamental de la teoría de la probabilidad.

El Teorema Central del Límite establece lo que pasa cuando tenemos la suma de un gran número de variables aleatorias independientes.

Por ejemplo si en el experimento anterior en lugar de considerar una bola, consideramos 10 bolas y el experimento consiste en calcular la media de las distancias a la que se detiene cada una de las bolas.

Como hemos visto , la distribución de probabilidades cuando el experimento se realiza sobre una bola es uniforme ; las probabilidades son las mismas para cada resultado. Si en lugar de una bola consideramos varias y en lugar de las distancias individuales consideramos la media, aparecen otras distribuciones.

Si aumentamos el número de bolas con que realizamos el experimento por encima de 30. La distribución de las medias es muy aproximadamente una Distribución Normal.

Este es el resultado que establece el Teorema Central del Límite.

Para realizar la simulación que se propone a continuación, sólo tenemos que poner el número de bolas con el que queremos realizar el experimento (para calcular la media), entre 10 y 50, y el número de veces que queremos repetir el experimento, entre 10 y 1000. Despues hacer click en el botón: Ejecutar.

En la simulación debemos observar cómo a medida que aumenta el número de bolas la distribución de probabilidades tiende a una Distribución Normal y como a medida que aumentamos el número de veces que repetimos el experimento, las frecuencias relativas tienden a estabilizarse.

Simulación del experimento

1. El tiempo de reparación de unas máquinas de escribir tiene una distribución aproximadamente exponencial, con media 22 minutos.

a. Hallar la probabilidad de que el tiempo de reparación sea menor que diez minutos.

b. El costo de reparación es de 2000 pts. por cada media hora o fracción. ¿Cuál es la probabilidad de que una reparación cueste 4000 pts.?

c. Para efectuar una programación, ¿cuanto tiempo se debe asignar a cada reparación para que la probabilidad de que cualquier tiempo de reparación mayor que el tiempo asignado sea solo de 0.1

2. Los pesos de 2 000 soldados presentan una distribución normal de media65 kg y desviación típica 8 kg. Calcula la probabilidad de que un soldado elegidoal azar pese: a) Más de 61 kg. b) Entre 63 y 69 kg. c) Menos de 70 kg. d) Más de 75 kg

3. La duración de un láser semiconductor a potencia constante tiene una distribución normal con media 7.000 horas y desviación típica de 600 horas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el láser falle antes de 5.000 horas?

b) ¿Cuál es la duración en horas excedida por el 95 % de los láseres?

c) Si se hace uso de tres laseres en un producto y se supone que fallan de manera independiente. d)¿ Cuál es la probabilidad de que tres sigan funcionando después de 7.000 horas?

4. En un quiosco de periódicos se supone que el número de ventas diarias se distribuye normalmente con media 30 y varianza 2. Determinar:

a) Probabilidad de que en un día se vendan entre 13 y 31 periódicos

b) Determinar el máximo número de periódicos que se venden en el 90% de las ocasiones

c) Supongamos que en una ciudad hay 10 quioscos independientes del mismo tipo y con las mismas características. Determinar la probabilidad de que más de dos quioscos vendan entre 13 y 31 periódicos

5. El volumen que una máquina de llenado automático deposita en latas de una bebida gaseosa tiene una distribución normal con media 34 cl. Y una desviación típica 1,5 cl.

a) Si se despachan aquellas latas que tienen menos de 33 cl., ¿cuál es la proporción de latas desechadas?

b) La máquina de llenado puede ser ajustada para cambiar el volumen medio ö para que únicamente el 1% de las latas tuviera menos de 33 cl.?

c) Si tomamos 10 latas llenadas con la máquina tal y como figura originalmente, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna sea desechada?

d) Si ahora tomamos 500 latas llenadas con la máquina tal y como figura originalmente, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 100 sean desechadas?

TRABAJO DE VARIABLES ALEATORIAS
Al tomar una ficha al azar de un juego de dominó, se define una variable aleatoria x que representa los puntos de la ficha.
Determinar la función Probabilidad
Determinar la función distribución
Representar gráficamente ambas funciones

Dada la función
f(x)={ 0 para cualquier otro valor de x
=2/(c√x)) para 0

Hallar el valor de c para que f(x) sea una función densidad
Hallar la función distribución
Representar ambas funciones gráficamente
E(x)
Var(x)
P(X<1/2) ;P( Sea x una variable aleatoria cuya función de distribución es:

F(x) =0 para x ≤1

= (x-1)^4/16 para 1≤x≤3

= 1 para x>3
Representar gráficamente F(x)
Hallar f(x) y comprobar que es función densidad
Representar gráficamente F(x)
Calcular E(x)
Calcular Var(x)

Una persona A paga a otra B 2 Bs y lanza 3 dados bien balanceados. Si sale uno, B paga a A 3 Bs; si aparecen dos unos B paga a A Bs 4 y si aparecen tres unos, B paga a A 7 Bs.
Es este un juego justo( es justo si la esperanza de las ganancias es cero)

Si no lo es, cuanto debería pagar B a A cuando aparezcan tres unos

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Hasta ahora hemos calculado la probabilidad de un evento sin conocer si otro evento relacionado había

ocurrido. En esta sección discutiremos las oportunidades que tiene un evento E cuando se sabe que un

evento relacionado F ha ocurrido; esto se llama probabilidad condicional de E. También la discusión

demostrará como hallar la probabilidad de 2 eventos conjuntos.

A. PROBABILIDAD CONDICIONAL

Notación

La probabilidad de un evento E cuando es dado que un evento relacionado F ha ocurrido se

llama probabilidad condicional y se representa por

y se lee como .la probabilidad de E dado F..

Digamos que A es un subconjunto del espacio muestral S

que favorece al evento E y B es el subconjunto de S que

favorece a F. En el diagrama de Venn (Figura 1) la

probabilidad del evento E, desconociendo que el evento F

ha ocurrido es:

Suponga que conocemos que el evento F ha ocurrido,

entonces, para hallar la probabilidad del evento E

representamos el espacio muestral como en la Figura 2.

La probabilidad de E está dada por:

= . Dividiendo el numerador y el denominador por n(s) obtenemos

=

=

Regla: La probabilidad condicional de E, dado por F, representada por P(E|F) está dada por:

P(E | F)

Figura 2

Figura 1

A B

S

A B

24

Comentario: La probabilidad condicional de E dado F es el cociente de dos probabilidades, donde el

denominador es la probabilidad del evento F que ya ocurrió.

Ejemplo 1: Escriba cada probabilidad condicional como un cociente de probabilidades.

a. La probabilidad de A dado B. b. La probabilidad de R dado Q.

Solución :

a. P(A | B)

b. P(R | Q)

Ejemplo 2: Dado que P(E y F) = 0.3 y P(F) = 0.6, encuentre P(E | F).

Solución : P(E | F)

Ejemplo 3: Dado que P(E) = 0.6, P(F) = 0.7, y P(E o F) = 0.8, calcule P(E | F).

Solución : Para hallar P(E | F) necesitamos P(E y F). Para esto usamos:

P(E ó F) = P(E) + P (F) . P(E y F)

0.8 = 0.6 + 0.7 . P(E y F)

P(E y F) = 1.3 . 0.8 = 0.5

Ahora podemos calcular

P(E | F)

Ejemplo 4: Entre los 700 empleados de una corporación, el número de hombres y mujeres

empleados que ganan menos de o más de $ 20,000 son los siguientes:

ÿ $ 20,000 $ 20,000 Total

Mujeres (M) 210 80 290

Hombres (H) 105 305 410

Total 315 385 700

Si uno de los empelados de la corporación es seleccionado al azar, encuentre la

probabilidad de que el empleado:

a. gana más o igual a $20,000, dado que es hombre.

b. Gana menos de $20,000, dado que es mujer

c. Es hombre, dado que gana más o igual de $ 20,000.

25

Solución : Dejemos que H : el empleado es hombre

M : el empleado es mujer

G : el empleado gana más o igual a $ 20,000

L : el empleado gana menos de $20,000

a. La probabilida de que un empleado gane $ 20,000 ó más, dado que es hombre es:

= P (G | M)

=

b. La probabilidad de que un empleado gane menos de $ 20,000, dado que es mujer es:

= P(L | F)

=

c. La probabilida de que el empleado es hombre, dado que gana $20,000 ó más es:

= P(M | G)

=

B. PROBABILIDAD DE EVENTOS CONJUNTOS

En la sección anterior aprendimos a encontrar la probabilidad de eventos disjuntos. Ahora

consideraremos la probabilidad de dos eventos conjuntos, E y F.

Observemos la fórmula para calcular la probabilidad condicional de E, dado F.

P(E | F)

Multiplicando a ambos lados por P(F) obtenemos

P(F) P(E | F) = P (E y F)

Regla: Si E y F son eventos de un experimento y P(F) 0, entonces

P(F y F) = P(F) · P(E | F)

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Comentario: La probabilidad de dos eventos conjuntos, E y F, es el producto de las

probabilidades: Probabilidad del primer evento multiplicado por la

probabilidad del segundo evento, dado que el primer evento ya ocurrió.

C. EVENTOS INDEPENDIENTES

Dos eventos E y F de un experimento son independientes si y sólo si:

P(E | F) = P(E)

ó

P(F | E) = P(F)

ó

P(E y F) = P(E) · P(F)

Comentario : Para dos eventos mutuamente exclusivos E y F

P(E y F) = 0 y

para dos eventos independientes E y F

P(E y F) = P(E) · P(F)

Ejemplo 5: Para una familia con tres niños, encuentre la probabilidad de que el primero es un

varón el segundo es hembra y el tercero es varón.

Solución : Si E :el primero es varón

F : el segundo es hembra

G : el tercero es varón.

Los eventos E, F, y G son independientes y la probabilidad de que nazca varón o

hembra es . Por lo tanto,

P(E y F y G) = P(E) · P(F) · P(G) =

Usando un diagrama de árbol

Dibujamos el diagrama de árbol según lo hicimos anteriormente, pero ahora indicamos la

probabilidad de cada rama del árbol.

www.bc.inter.edu/facultad/JMARTINEZ/cursos/inge3200/p3.pdf

Bajado de www. sappiens.com

Ejercicios :

1. Se lanza un dado y se observa que número de aparece en la cara superior.

2. Se lanza una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas

3. El ala de un aeroplano se arma con un gran número de remaches. Se cuenta el número de remaches defectuosos. Determinar el espacio muestral.

4. Se fabrican artículos hasta llegar a producir 10 no defectuosos. Se cuenta el número total de artículos manufacturados. Determinar el espacio muestral.

5. De una urna que contiene solamente esferas negras, se toma una esfera y se anota su color. Determinar el espacio muestral.

6. Se fabrican artículos de una línea de producción y se cuentan el número de artículos defectuosos producidos en 24 hs.

7. En un bolillero hay  20 bolillas blancas y 5 azules:

1. calcular la probabilidad de sacar una blanca
2. calcular la probabilidad de sacar una azul
3. calcular la probabilidad de sacar una blanca o una azul

8. Al arrojar dos dados, uno blanco y uno negro, calcular la probabilidad de obtener ocho puntos entre los dos.

9. Se lanza una moneda tres veces. Descubrir el espacio muestral y calcular la posibilidad de sacar tres caras.

10.   Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres de los cuales la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres, tienen los ojos castaños.

Hallar la probabilidad que una persona tomada al azar, sea hombre o tenga los ojos castaños.

11.  En un bolillero hay 15 bolillas rojas, 6 blancas y 7 azules. Se quiere se quiere saber cual es la probabilidad al extraer una, de obtener indistintamente i bolilla roja o una blanca.

12.   Si se arrojan dos monedas, calcular la probabilidad de sacar 2 caras o dos cecas.

13.   Dos tiradores hicieron un disparo cada uno. La probabilidad que el primer tirador haya dado en el blanco es de 0,7, y la del segundo 0,6.

-Hallar la probabilidad que por lo menos 1 tirador haya dado en el blanco.

14.  Se  carga una moneda de modo que la probabilidad de salir cara sea 3 veces la de salir ceca.  Hallar la probabilidad de cara y la probabilidad de ceca.

15. La probabilidad de que A o B ocurran es de 1/8. La probabilidad de que A ocurra es de 1/2. Mientras que la probabilidad de que ambos ocurran en forma simultanea no se conoce. Siendo loe eventos no excluyentes calcular la  probabilidad de que A y B ocurran.

16. Una caja contiene 3 monedas :  1 moneda es corriente, 1 moneda tiene 2 caras y la tercer moneda esta cargada de modo que la probabilidad de obtener cara sea 1/3. Se seleccionara una moneda al azar y se lanzara. Hallar la probabilidad que salga cara. Utilizar diagrama de árbol.

17. Un tubo de vacío puede provenir de cualquiera de tres fabricantes con probabilidad: P1=0,25  P2=0,5  P3=0,25.   Las probabilidades de que el tubo funcione correctamente durante un período de tiempo específico son: 0,1 ; 0,2 ; 0,4.  Respectivamente para los 3 fabricantes. Calcular la probabilidad de que el tubo elegido al azar funcione correctamente.

18. En un establecimiento se fabrican lamparas incandescentes. El  1º suministra el 70% del total, y el 2º suministra el 30% del total. En promedio son normales 83 lamparas de cada 100 provenientes de la primera fabrica, y el 63 de cada 100 lamparas provenientes de la segunda fabrica. Calcular la probabilidad de comprar una lampara normal

19. Se arrojan tres monedas equilibradas. ¿cuál es la probabilidad de que todas sean "caras" si se sabe que la segunda resulta cara.

20. Se tienen dos fichas o discos de cartón, uno con las dos caras rojas y otro con 1 cara roja y otra azul. Se saca al azar un disco y se ve que contiene 1 cara roja. ¿cuál es la probabilidad de que la otra cara sea azul?

21.  Una urna contiene 5 bolillas rojas, 3 verdes y 7 negras. Siendo eventos excluyentes, calcular la probabilidad de que 1 bolilla sacada al azar sea roja o verde.

22. Una bolsa A contiene 3 bolillas rojas y 2 blancas. Se desea saber las probabilidades de que sean:

1. las 2 rojas
2. las dos blancas
3. 1 roja y 1 blanca

23.  Supóngase que A y B  son 2 sucesos independientes asociados con un experimento. Si la probabilidad de que A o B ocurran es de 0,6 mientras que la probabilidad de que A ocurra es de 0,4 determinar la probabilidad de que B ocurra.

24.  En una carrera de automóviles la probabilidad de que el corredor Nº 6  gane es de 1/8 y la del Nº 14 es de 1/16:

Calcular:

1. La probabilidad de que gane la carrera uno de esos corredores
2. Calcular la probabilidad de que no gane la carrera el corredor Nº 6

25.  Sean A y B dos sucesos asociados con un experimento que  P(a) = 0,4 mientras que  P(A u B) =0,7:

Sea por comodidad P (A u B)=P

Preguntas:

1. ¿para que elección de P(b) son Ay B mutuamente excluyentes?
2. ¿para que elección  de P(b) son Ay B mutuamente independientes?

26.  Tres caballos A,B,C, intervienen en una carrera. A tiene el doble de probabilidad de ganar que B, y B tiene el doble que C.

¿ Cuales son las respectivas probabilidades de ganar de cada caballo?

27.  Sea un dado cargado, tal que la posibilidad de salir un número cuando se lanza el dado es proporcional a dicho número. Por ejemplo el 6 tiene el doble de probabilidad que 3.

Sea:

A {número par}
B {número primo}
C {número impar}

1. Hallar la probabilidad de cada cara, (número del dado)
2. Calcular, P(a), P(b), P(c)
3. Hallar las probabilidades de que:
   l) Salga número par o primo P( A U B )
   ll) Salga numero impar Y primo P(CÙB)
   lll) Salga el ebvento A pero no el evento B

28. En la fabricación de un cierto artículo, se encuentra que se presenta un tipo de defecto con una probabilidad 0,1 y defectos de un segundo tipo con probabilidad 0,05. Se supone la independencia entre ambos tipos de defectos . Cual es la probabilidad que:

1. Un artículo no tenga ambos tipos de defectos
2. Un articulo sea defectuoso

29. Cierto equipo de fútbol, gana con probabilidad 0,6 ;pierde con probabilidad 0,3 ; y empata con probabilidad 0,1. El equipo juega 3 encuentros durante fin de semana.

1. Determinar los elementos del evento A en que el equipo gana por lo menos 2 y no pierde; y hallar P(a).
2. Determinar los elementos del evento B en que el equippol gana, pierde y empata y hallar P(b).

30. Dos tiradores disparan al blanco. La probabilidad de que hagan blanco en un disparo es 0,7 y 0,8 respectivamente. Hallar la probabilidad de que en un disparo haga blanco solo uno de los tiradores

31. En una sala de lectura hay 6 manuales, 3 de los cuales están encuadernados. Se toman al azar 2 manuales sucesivamente y sin reposición. Calcular la probabilidad de que ambos estén encuadernados

32. En un bolillero hay 7 bolillas blancas y 12 negras. Se extraen 2 bolillas sin reposición. Calcular la probabilidad de que la 1º sea blanca y la segunda sea negra.

33. Para cierta localidad el promedio de días nublados en junio es de 6. Hallar la probabilidad de que haya 2 días seguidos de buen tiempo.

34. En un circuito electrónico se conectan en serie 3 elementos que trabajan independientemente uno del otro. Las probabilidades de falla de cada elemento son: 0,1 - 0,15 - 0,2.  Hallar la probabilidad de que no haya corriente en el circuito.

ACLARACIÓN: Con que un solo elemento, no ande, No va a haber corriente en el circuito electrónico porque trabajan en serie.

35.  Un dispositivo físico contiene 2 elementos que trabajan independientemente. Las probabilidades de falla de cada elemento  son 0,05 y 0,08 respectivamente. Hallar la probabilidad que falle por lo menos uno de los elementos.

36.  Al transportar 25 vasos lisos y 12 vasos de color, se ha roto 1 vaso de color). Hallar la probabilidad de que el vaso roto sea: a) de color  b) liso

37.  Supóngase el caso de lanzar 1 moneda y 1 dado. Sea el espacio muestral (s) que consta de 12 elementos:

A = expresar explícitamente los siguientes eventos:
A1) {  aparecen caras y un numero par}
A2) {aparece un número primo}
A3) { Aparecen caras y numero par}
A4)  {aparecen cecas y un numero par}

B= Expresar explícitamente el evento:
B1) Que A o B sucedan
B2) que B y C sucedan
B3) Que solamente B suceda

C) Cuales de los sucesos A, B, C son mutuamente excluyentes.

38.  Las probabilidades de que 1 hombre vivirá 10 años más es de 1/4 y la probabilidad de que su esposa vivirá 10 años más es de 1/3. Hallar la probabilidad de que al menos uno (u otro) estará vivo dentro de 10 años.

Resolver por diagrama de árbol:

39. Una urna contiene 7 esferas rojas y 3 esferas blancas. De la urna se extraen 3 esferas una tras otra. Hallar la probabilidad de que las 2 primeras sean rojas y la tercera blanca.

40. Supóngase que entre seis pernos , dos son mas cortos que una longitud específica. Si se toma dos pernos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que los 2 mas cortos sean los elegidos?

41. Una caja contiene 4 tubos malos y 6 buenos. Se sacan 2 a la vez. Se prueba uno de ellos, y se encuentra que es bueno, ¿ cual es la probabilidad de que es el segundo también lo sea?

Probabilidad condicional:

42.   Para armar la siguiente tabla se han tenido en cuenta las clasificaciones: N, A, S.

Si entre los 40 alumnos de dicho curso, se elige 1 al azahar, hallar la probabilidad de que:  

1. Haya obtenido A en la evaluación
2. Haya obtenido A sabiendo que el alumno elegido es varón.

43. De una lata que contiene 18 galletitas de salvado y 10 de agua, se extraen 2 galletitas al azar, sucesivamente y sin repetición. Calcular la probabilidad de que la primera galletita extraída sea de salvado y la segunda de agua.

44. Un cierto artículo es manufacturado por 3 fabricas, A-B-C. Se sabe que la primera produce el doble de artículos que la segunda, y que estas y la tercera producen el mismo numero de artículos.  Se sabe también que el 2% de los artículos producidos por las dos primeras, es defectuoso, mientras que el 4% de los manufacturados por la 3º es defectuoso. Se colocan juntos todos los artículos producidos en fila y se toma uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que este sea el defectuoso?

45.  Se arroja una moneda equilibrada (normal), si sale cara se elije al azar un numero del 1 al 10, si sale ceca se elige al azar un numero entero del 6 al 10. ¿cuál es la probabilidad que el numero elegido sea par?

46. Una oficina tiene 100 máquinas calculadoras . algunas de estas son eléctricas, mientras que otras son manuales. Además algunas son nuevas mientras que otras son usadas. Una persona entra a la oficina, toma una máquina al azar, y descubre que s nueva... ¿cuál es la probabilidad de que sea eléctrica?

47. Tomamos las tres cajas siguientes:

Caja1:  contiene: 10 lamparas de las cuales son defectuosas
Caja2:  contiene 6 lamparas de las cuales 1 es defectuosa
Caja3:  contiene 8 lamparas de las cuales 3 son defectuosas.

Tomamos al azar una caja y luego sacamos al azahar una lampara, ¿cuál es la probabilidad de que la lámpara sea defectuosa?

48. En dos establecimientos se fabrican lamparas incandescentes:

El 1º suministra el 70% y el segundo el 30% de la producción total.

En promedio son normales 83 lamparas sobre 100, provenientes de la primera fabrica, y 63 de cada 100 lamparas provenientes de la segunda fabrica.

49. En una cierta facultad 25% de los estudiantes perdieron matemática. El 15% perdieron química y el 10 %perdieron las dos. Se selecciona un estudiante al azar:

1. si perdió química, ¿qué probabilidad hay que también haya perdido matemática?
2. ¿Si perdió matemática, cual es la probabilidad que haya perdido química?
3. ¿cuál es la probabilidad que haya perdido matemática o química?

50. de un grupo de cinco mujeres y 4 hombres, se seleccionan sucesivamente y al azar 3 personas. calcular la probabilidad de elegir:

1. por lo menos 2 mujeres.
2. 2mujeres y 1 hombre

51. En cierta facultad el 25% de los alumnos recursan matemática, el 15% recursan física, el 10%  recursan ambas. Si seleccionamos un estudiante al azar, cuál es la probabilidad que:

1. Recurse matemática si recursa física.
2. Recurse física dado que recursa matemática.

52. Para la destrucción de un fuerte, es suficiente que caiga 1 bomba de aviación.

Hallar la probabilidad de que el fuerte sea destruido, si sobre el se lanzan 4 bombas con probabilidades de impactos iguales a: 0,3- 0,4- 0,6- 0,7- respectivamente. ¿cuál es la probabilidad que el fuerte sea destruido con cada una de las bombas?

53. De acuerdo a una investigación realizada en una determinada ciudad acerca d e mujeres mayores de 20 años se ha comprobado que entre otras cosas el 68% están casadas, de estas el 40 % trabaja fuera del hogar. De las que no están casadas, el 72 % trabajan fuera del hogar:

1. Que porcentaje de mujeres mayores de 20 años trabaja fuera del hogar.
2. Si se selecciona al azar una mujer mayor de 20 años, ¿cuál es la probabilidad de que no este casada ni trabaje fuera?

54. Un obrero atiende tres telares. Supongamos que la posibilidad que los telares no requieran de la atención del obrero en una hora  sea para el primer telar de 0,9, para el segundo de 0,8 y para el tercero 0,85. Se desea saber cual es la probabilidad de que ninguno de los telares reclame la atención del obrero durante 1 hora.

55. E la fabricación de un cierto articulo se encuentra que se presenta un tipo de defecto con una probabilidad 0,1 y defecto de un segundo tipo con probabilidad de 0,05. Se supone la independencia entre ambos tipos de defecto. ¿cuál es la probabilidad de que?

1. Un artículo no tenga ambas clases d e defecto.
2. Un artículo sea defectuoso.

56. En cierta ciudad, un 40% de la población tiene cabello castaño, 25% de la población tiene ojos castaños y el 15 % tiene cabellos y ojos castaños. Se toma al azar  a 1 persona:

1. Si tiene cabello castaño, cual es la probabilidad de que también tenga cabellos castaños,
2. Si tiene ojos castaños ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

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1¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

2Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

3¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

4¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

5¿De cuántos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos?

6A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?

7Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras pueden formarse? ¿Cuántos son pares?

8¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

9¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta de la portería?

10Con el punto y raya del sistema Morse, ¿cuántas señales distintas se pueden enviar, usando como máximo cuatro pulsaciones?

11Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

12¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?

13Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

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