PROBABILIDAD CONDICIONAL

Hasta ahora hemos calculado la probabilidad de un evento sin conocer si otro evento relacionado había

ocurrido. En esta sección discutiremos las oportunidades que tiene un evento E cuando se sabe que un

evento relacionado F ha ocurrido; esto se llama probabilidad condicional de E. También la discusión

demostrará como hallar la probabilidad de 2 eventos conjuntos.

A. PROBABILIDAD CONDICIONAL

Notación

La probabilidad de un evento E cuando es dado que un evento relacionado F ha ocurrido se

llama probabilidad condicional y se representa por

y se lee como .la probabilidad de E dado F..

Digamos que A es un subconjunto del espacio muestral S

que favorece al evento E y B es el subconjunto de S que

favorece a F. En el diagrama de Venn (Figura 1) la

probabilidad del evento E, desconociendo que el evento F

ha ocurrido es:

Suponga que conocemos que el evento F ha ocurrido,

entonces, para hallar la probabilidad del evento E

representamos el espacio muestral como en la Figura 2.

La probabilidad de E está dada por:

= . Dividiendo el numerador y el denominador por n(s) obtenemos

=

=

Regla: La probabilidad condicional de E, dado por F, representada por P(E|F) está dada por:

P(E | F)

Figura 2

Figura 1

A B

S

A B

24

Comentario: La probabilidad condicional de E dado F es el cociente de dos probabilidades, donde el

denominador es la probabilidad del evento F que ya ocurrió.

Ejemplo 1: Escriba cada probabilidad condicional como un cociente de probabilidades.

a. La probabilidad de A dado B. b. La probabilidad de R dado Q.

Solución :

a. P(A | B)

b. P(R | Q)

Ejemplo 2: Dado que P(E y F) = 0.3 y P(F) = 0.6, encuentre P(E | F).

Solución : P(E | F)

Ejemplo 3: Dado que P(E) = 0.6, P(F) = 0.7, y P(E o F) = 0.8, calcule P(E | F).

Solución : Para hallar P(E | F) necesitamos P(E y F). Para esto usamos:

P(E ó F) = P(E) + P (F) . P(E y F)

0.8 = 0.6 + 0.7 . P(E y F)

P(E y F) = 1.3 . 0.8 = 0.5

Ahora podemos calcular

P(E | F)

Ejemplo 4: Entre los 700 empleados de una corporación, el número de hombres y mujeres

empleados que ganan menos de o más de $ 20,000 son los siguientes:

ÿ $ 20,000 $ 20,000 Total

Mujeres (M) 210 80 290

Hombres (H) 105 305 410

Total 315 385 700

Si uno de los empelados de la corporación es seleccionado al azar, encuentre la

probabilidad de que el empleado:

a. gana más o igual a $20,000, dado que es hombre.

b. Gana menos de $20,000, dado que es mujer

c. Es hombre, dado que gana más o igual de $ 20,000.

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Solución : Dejemos que H : el empleado es hombre

M : el empleado es mujer

G : el empleado gana más o igual a $ 20,000

L : el empleado gana menos de $20,000

a. La probabilida de que un empleado gane $ 20,000 ó más, dado que es hombre es:

= P (G | M)

=

b. La probabilidad de que un empleado gane menos de $ 20,000, dado que es mujer es:

= P(L | F)

=

c. La probabilida de que el empleado es hombre, dado que gana $20,000 ó más es:

= P(M | G)

=

B. PROBABILIDAD DE EVENTOS CONJUNTOS

En la sección anterior aprendimos a encontrar la probabilidad de eventos disjuntos. Ahora

consideraremos la probabilidad de dos eventos conjuntos, E y F.

Observemos la fórmula para calcular la probabilidad condicional de E, dado F.

P(E | F)

Multiplicando a ambos lados por P(F) obtenemos

P(F) P(E | F) = P (E y F)

Regla: Si E y F son eventos de un experimento y P(F) 0, entonces

P(F y F) = P(F) · P(E | F)

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Comentario: La probabilidad de dos eventos conjuntos, E y F, es el producto de las

probabilidades: Probabilidad del primer evento multiplicado por la

probabilidad del segundo evento, dado que el primer evento ya ocurrió.

C. EVENTOS INDEPENDIENTES

Dos eventos E y F de un experimento son independientes si y sólo si:

P(E | F) = P(E)

ó

P(F | E) = P(F)

ó

P(E y F) = P(E) · P(F)

Comentario : Para dos eventos mutuamente exclusivos E y F

P(E y F) = 0 y

para dos eventos independientes E y F

P(E y F) = P(E) · P(F)

Ejemplo 5: Para una familia con tres niños, encuentre la probabilidad de que el primero es un

varón el segundo es hembra y el tercero es varón.

Solución : Si E :el primero es varón

F : el segundo es hembra

G : el tercero es varón.

Los eventos E, F, y G son independientes y la probabilidad de que nazca varón o

hembra es . Por lo tanto,

P(E y F y G) = P(E) · P(F) · P(G) =

Usando un diagrama de árbol

Dibujamos el diagrama de árbol según lo hicimos anteriormente, pero ahora indicamos la

probabilidad de cada rama del árbol.

www.bc.inter.edu/facultad/JMARTINEZ/cursos/inge3200/p3.pdf